高中數(shù)學線性規(guī)劃知識點及典型例題詳解

一、知識梳理

1目標函數(shù)：P=2x+y是一個含有兩個變量x和y的函數(shù)，稱為目標函數(shù)。

2 可行域：約束條件表示的平面區(qū)域稱為可行域。

3 整點：坐標為整數(shù)的點叫做整點。

4 線性規(guī)劃問題：求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，通常稱為線性規(guī)劃問題。只含有兩個變量的簡單線性規(guī)劃問題可用圖解法來解決。

5整數(shù)線性規(guī)劃：要求量整數(shù)的線性規(guī)劃稱為整數(shù)線性規(guī)劃。

二、疑難知識導析

線性規(guī)劃是一門研究如何使用最少的人力、物力和財力去最優(yōu)地完成科學研究、工業(yè)設計、經(jīng)濟管理中實際問題的專門學科，主要在以下兩類問題中得到應用：一是在人力、物力、財務等資源一定和條件下，如何使用它們來完成最多的任務;二是給一項任務，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務。

1對于不含邊界的區(qū)域，要將邊界畫成虛線。

2 確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域有種方法，常用的一種方法是“選點法”：任選一個不在直線上的點，檢驗它的坐標是否滿足所給的不等式，若適合，則該點所在的一側即為不等式所表示的平面區(qū)域;否則，直線的另一端為所求的平面區(qū)域。若直線不過原點，通常選擇原點代入檢驗。

3 平移直線y=-kx+P時，直線必須經(jīng)過可行域。

4 對于有實際背景的線性規(guī)劃問題，可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個凸多邊形區(qū)域，此時變動直線的最佳位置一般通過這個凸多邊形的頂點。

5 簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：

(1)尋找線性約束條件，線性目標函數(shù);

(2)由二元一次不等于表示的平面區(qū)域做出可行域;

(3)在可行域內(nèi)求目標函數(shù)的最優(yōu)解。

積儲知識：

一、

1.占P(x0，y0)在直線Ax+By+C=0上，則點P坐標適合方程，即Ax0+ y0+C=0

2.點P(x0，y0)在直線Ax+By+C=0上方(左上或右下)，則當B>0時，Ax0+ y0+C >0;當B<0時，Ax0+ y0+C<0

3.點P(x0+，y0)D在直線Ax0+ y0+C=0下方(左下或右下)，當B>0時，Ax0+ y0+C<0;當B>0時，Ax0+ y0+C>0

注意：(1)在直線Ax+ By+C=0同一側的所有點，把它的坐標(x，y)代入Ax+ By+C=0，所得實數(shù)的符號都相同。

(2)在直線Ax+ By+C=0的兩側的兩點，把它的坐標代入Ax+ By+C，所得實數(shù)的符號相反。

即：

1.點(P x1，y1)和Q(x2，y2)在直線Ax+By+C=0的同側，則有(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0

2. 點(P x1，y1)和Q(x2，y2)在直線Ax+By+C=0的同側，則有(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0

二、二元一次不等式表示平面區(qū)域：

①二元一次不等式Ax+By+C>0(或<)在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C=0某一側所有點組成的平面區(qū)域，不包括邊界;

②二元一次不等式Ax+By+C≥0(≤0)在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C0

某一側所有點組成的平面區(qū)域且包括邊界;

注意：作圖時，不包括邊界畫成虛線;包括邊界畫成實線。

三、判斷二元一次不等式表示哪一側平面區(qū)域的方法：

方法一：取特殊點檢驗：“直線定界、特殊點定域”

原因：由于對在直線Ax+By+C0的同一側的所有點(x，y)把它的坐標系(x，y)代入Ax+By+C，所得到的實數(shù)的符號都相同，所以只需在此直線的某一側取一個特殊點(x0，y0)，從Ax0+By0+C的正負即可判Ax+By+C>0表示直線哪一側的平面區(qū)域。特殊地，當C≠0時，常把原點作為特殊點，當C=0時，可用(0，1)或(1，0)當特殊點，若點坐標代入適合不等式則此點所在的區(qū)域為需畫的區(qū)域，否則是另一側區(qū)域為需畫區(qū)域。

方法二：利用規(guī)律：

1.Ax+By+C>0，當B>0時表示直線Ax+By+C=0上方(左上或右上)，當B<0時表示直線Ax+By+C=0下方(左下或右下);

2.Ax+By+C<0，當B>0時表示直線Ax+By+C=0下方(左下或右下)當B>0時表示直線Ax+By+C=0上方(左上或右上)。

四、線性規(guī)劃的有關概念：

①線性約束條件：

②線性目標函數(shù)：

③線性規(guī)劃問題：

④可行解、可行域和最優(yōu)解：

典型例題

典型例題——————畫區(qū)域