高一數(shù)學教案：《基于APOS理論的函數(shù)概念》教學設計(4)

　　（七）舉例應用，深化目標[圖式（S）]

　　例3．已知函數(shù)

　　（1）畫出函數(shù)的圖象；（2）求的值；（3）你從（2）中發(fā)現(xiàn)了什么結論？（4）求函數(shù)的值域。

　　為了讓學生體會到從特殊到一般的思想方法，同時也后面研究函數(shù)的性質(zhì)（奇函數(shù)）作準備。

　　教師引導學生解決此題的關鍵點，并進行變式：

　　變式1：已知，① 當時，求函數(shù)的值域；② 當時，求函數(shù)的值域。

　　變式2：已知，① 當函數(shù)值域為時，求函數(shù)定義域；② 當函數(shù)值域為時，求函數(shù)定義域。

　　變式3：（1）已知，求的值。（2）已知，求函數(shù).

　　變式4：已知，，求①的解析式；②的解析式；③的解析式。

　　以一個問題為背景，一題多用，一題多變，由淺入深，體現(xiàn)梯度，使不同程度的學生都有發(fā)展。通過一組精心設計的問題鏈來引導和激發(fā)學生的參與意識、創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學生探究問題的能力，從而提升學生的思維品質(zhì)。借助三個變式層層深入，是理論到實踐的升華，使概念深化、強化、類化的作用與含義印入心底，得到再次認同，初步掌握與應用能力也就自然形成了。

　　（八）練習交流，反饋鞏固

　　以學生回答、板演的形式進行課堂練習，充分發(fā)揮師與生、生與生的互動，以教師、學生相互交流來鞏固本節(jié)課的學習。

　　（九）學生歸納小結，教師評價

　　以同桌之間一人小結一人傾聽的方式，以四人為一小組進行小組討論，對本節(jié)課所學的內(nèi)容進行自主小結，教師及時進行歸納總結：1．函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義的異同點；2．集合與函數(shù)的聯(lián)系、區(qū)別；3．函數(shù)的三要素；4．數(shù)形結合的思想。

　　三、幾點啟示

　　APOS理論對學生的函數(shù)概念的理解作出了分層分析，可以預測學生已經(jīng)在多大程度上對性質(zhì)作出了心理建構，從而推知學生對函數(shù)概念的掌握起點。基于APOS理論的理念設計數(shù)學性質(zhì)教學，實質(zhì)是“以學生為主體”的理念在課堂探究中的體現(xiàn)，有利于學生理解函數(shù)的概念。

　　教學中教師要關注數(shù)學本身的特點，更重要的是要關注課堂上學生的掌握概念的思維狀況，將數(shù)學知識和學生探究活動有機結合，要求教師要重視學生的學習活動，讓學生親身創(chuàng)設問題情境。數(shù)學教師要意識到：一個數(shù)學概念由“過程”到“對象”的建立, 有時既困難又漫長, 需要經(jīng)過多次反復,循序漸進,螺旋上升, 直至學生真正理解,“對象”的建立要注意簡練的文字形式和符號表示,使學生在頭腦中建立起數(shù)學知識的直觀結構形象。

　　學生對于函數(shù)概念的認識不是一蹴而就的，這就要要教師在教學過程中整體處理教材，把握教學的度，結合具體的問題有意識地在各個階段的學習過程中，幫助學生逐步形成函數(shù)完整的知識鏈。在往后的教學中要注意學生對知識的圖式的建立, 即加強知識間的聯(lián)系和應用,如在講解具體的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)時，可以以具體函數(shù)為載體，在一般函數(shù)概念的指導下對其性質(zhì)進行研究，體現(xiàn)了“具體──抽象──具體”的過程，是函數(shù)概念理解的深化。又如，在講解不等式、方程的求解及應用后，可以與函數(shù)相結合，進行對比，從而加深對函數(shù)概念的理解，幫助學生在頭腦中建立起完整的數(shù)學知識的心理圖式。

　　當然，APOS 理論的四個階段并非一定體現(xiàn)在一堂數(shù)學課當中, 也不是每一課都必須遍歷四個階段, 它適用于數(shù)學概念在學生頭腦中建立的一段時期,并不局限于某一堂課。比如，函數(shù)圖式的形成是需要一個長期實踐與反思。有些學生需要在接觸了大量的具體的函數(shù)模型以后，甚至在學習了函數(shù)的復合、微分、積分以后，才能漸漸地實現(xiàn)從“過程”到“對象”的理解，再由“對象”到“圖式”的發(fā)展。作為老師，我們應該理解學生的實際，作為數(shù)學的學習過程，也是允許學生有折返的現(xiàn)象。