最早的數學——算術

　　算術是數學中最古老、最基礎和最初等的部分。它研究數的性質及其運算。

　　“算術”這個詞，在我國古代是全部數學的統(tǒng)稱。至于幾何、代數等許多數學分支學科的名稱，都是后來很晚的時候才有的。

　　國外系統(tǒng)地整理前人數學知識的書，要算是希臘的歐幾里得的《幾何原本》最早�！稁缀卧�本》全書共十五卷，后兩卷時候人增補的。全書大部分是屬于幾何知識，在第七、八、九卷中專門討論了數的性質和運算，屬于算術的內容。

　　現在拉丁文的“算術”這個詞是由希臘文的“數和數(音屬，sh?三音)數的技術”變化而來的。“算”字在中國的古意也是“數”的意思，表示計算用的竹籌。中國古代的復雜數字計算都要用算籌。所以“算術”包含當時的全部數學知識與計算技能，流傳下來的最古老的《九章算術》以及失傳的許商《算術》和杜忠《算術》，就是討論各種實際的數學問題的求解方法。

　　關于算數的產生，還是要從數談起。數是用來表達、討論數量問題的，有不同類型的量，也就隨著產生了各種不同類型的數。遠在古代發(fā)展的最初階段，由于人類日常生活與生產實踐中的需要，在文化發(fā)展的最初階段就產生了最簡單的自然數的概念。

　　自然數的一個特點就是由不可分割的個體組成。比如說樹和羊這兩種事物，如果說兩棵樹，就是一棵再一顆；如果有三只羊，就是一只、一只又一只。但不能說有半棵樹或者半只羊，半棵樹或者半只羊充其量只能算是木材或者是羊肉，而不能算作樹和羊。

　　不過，自然數不足以解決生活和生產中常見的分份問題，因此數的概念產生了第一次擴張。分數是對另一種類型的量的分割而產生的。比如，長度就是一種可以無限地分割的量，要表示這些量，就只有用分數。

　　從已有的文獻可知，人類認識自然數和分數的歷史是很久的。比如約公元前2000年流傳下來的古埃及萊茵德紙草書，就記載有關于分數的計算方法；中國殷代遺留下來的甲骨文中也有很多自然數，最大的數字是三萬，并且全部是應用十進位制的位置計數法。

　　自然數和分數具有不同的性質，數和數之間也有不同的關系，為了計算這些數,就產生了加、減、乘、除的方法，這四種方法就是四則運算。

　　把數和數的性質、數和數之間的四則運算在應用過程中的經驗累積起來，并加以整理，就形成了最古老的一門數學──算術。

　　在算術的發(fā)展過程中，由于實踐和理論上的要求，提出了許多新問題，在解決這些新問題的過程中，古算術從兩個方面得到了進一步的發(fā)展。

　　一方面在研究自然數四則運算中，發(fā)現只有除法比較復雜，有的能除盡，有的除不盡，有的數可以分解，有的數不能分解，有些數又大于1的公約數，有些數沒有大于1的公約數。為了尋求這些數的規(guī)律，從而發(fā)展成為專門研究數的性質、脫離了古算術而獨立的一個數學分支，叫做整數論，或叫做初等數論，并在以后又有新的發(fā)展。

　　另一方面，在古算術中討論各種類型的應用問題，以及對這些問題的各種解法。在長期的研究中，很自然地就會啟發(fā)人們尋求解這些應用問題的一般方法。也就是說，能不能找到一般的更為普遍適用的方法來解決同樣類型的應用問題，于是發(fā)明了抽象的數學符號，從而發(fā)展成為數學的另一個古老的分支，指就是初等代數。

　　數學發(fā)展到現在，算術已不再是數學的一個分支，現在我們通常提到的算術，只是作為小學里的一個教學科目，目的是使學生理解和掌握有關數量關系和空間形式的最基礎的知識，能夠正確、迅速地進行整數、小數、分數的四則運算，初步了解現代數學中的一些最簡單的思想，具有初步的邏輯思維能力和空間觀念。

　　現代小學數學的具體內容，基本上還是古代算術的知識，也就是說，古代算術和現代算術的許多內容上是相同的。不過現代算術和古代算術也還存在著區(qū)別。

　　首先，算術的內容是古代的成人包括數學家所研究的對象，現在這些內容已變成了少年兒童的數學。其次，在現代小學數學里，總結了長期以來所歸結出來的基本運算性質，即加法、乘法的交換律和結合律，以及乘法對加法的分配律。這五條基本運算定律，不僅是小學數學里所學習的數運算的重要性質，也是整個數學里，特別是代數學里著重研究的主要性質。

　　第三，在現代的小學數學里，還孕育著近代數學里的集合和函數等數學基礎概念的思想。比如，和、差、積、商的變化，數和數之間的對應關系，以及比和比例等。

　　另外，現在小學數學里，還包含有十六世紀才出現的十進小數和它們的四則運算。應當提出的是十進小數不是一種新的數，而可以被看作是一種分母是10的方冪的分數的另一種寫法。

　　我們在這里把算術列成第一個分支，主要是想強調在古代全部數學就叫做算術，現代的代數學、數論等最初就是由算術發(fā)展起來的。后來，算學、數學的概念出現了，它代替了算術的含義，包括了全部數學，算術就變成了一個分支了。因此，也可以說算術是最古老的分支。