名師解析2020高考數學真題：注重綜合能力考查

　　隨著高考數學考試的結束，2020年高考的第一天落下帷幕。高考數學向來是備受考生吐槽的科目，今年高考結束后，微博網友依舊是各式各樣的花式吐槽。那么，今年高考數學的難度究竟如何呢？相比往年又有哪些變化呢？高一高二的考生在備戰(zhàn)高考數學時要吸取哪些經驗呢？

　　7月7日晚上20：00，新浪教育特約作業(yè)幫高考數學名師肖晗做客新浪直播間，在高考數學結束后第一時間與廣大考生和家長聊聊2020高考數學真題，并做權威解讀和分析，同時給未來的高考學生提供實用的方法和技巧。

　　以下為直播訪談實錄：

　　主持人：歡迎新浪及新浪微博的網友收看新浪教育的《高考直播間》，我是主持人石毅。今天就是我們高考第一天，有1071萬的考生走進了考場來完成他們的人生大考，尤其今年是疫情特殊性，所以高考延遲了一個月的時間，在今天正式開考。在今天是繼上海、浙江之后，北京、山東、天津、海南等省份將進行新高考改革下的第一次高考。對于考生來說2020年的高考對于他們來說一定是一段記憶猶新的一個時刻。

　　作為全國人民非常關注的年度大考，每一年的高考都是牽動了無數人的心，為了幫助今年的高考考生更加深入的了解我們的題，而且是讓他們能夠精準的估分。我們特別邀請到了“名師有大招，解題更高效”的作業(yè)幫直播課的資深老師。作業(yè)幫累計用戶超8億，在線教育引領者。我們歡迎肖晗老師，首先做一個自我介紹。

　　肖晗：Hello，各位朋友，大家好，我是作業(yè)幫直播課高考研究院高中數學首席講師，我叫肖晗。我特別開心今天能來到新浪這邊跟咱們一塊來聊一聊今年的高考，尤其是大家每年吐槽特別多的高考數學這一塊。

　　我給大家做一個自我介紹，我是在07年的時候以全省第二名成績考入清華大學，自己的高考總分是702分，數學滿分。我自己在畢業(yè)之后就一直在教育行業(yè)里深耕，所以到現在差不多教了有十年，我們日常的工作，包括上課、備課、教研，其實我們很多的精力會花在研究總結每年的高考題。甚至我們會看一下最近30年，甚至從78年，就是高考恢復第一年開始的題目，就是它到底會有一些什么樣的變化，所以我們今天也特別、特別期待能夠給大家來分享一下關于今年高考試卷的一些變化。

　　主持人：今天在我們直播間的課件上我們也收集到了網友們，尤其是考生們，剛考完出來之后在網上報了一些題目，肖晗老師用一個小時不到的時間就瘋狂了來總結這些題目，我們今天的直播非常、非常緊張，因為時間特別緊湊，所以希望我們今天的直播能夠幫助到剛剛考完的高三的學生，更重要的是我們也想幫助正在上高一或高二的學生，他們在明年或者后年要參加高考的時候，他們要做一些什么樣的準備。我特別想以主持人身份問一問，當年數學滿分是一個什么樣的心情，知道數學滿分。

　　肖晗：當時不是等到查成績，考完試就知道自己今年穩(wěn)了。當年我自己去參加高考的時候，07年，因為我們是下午3點鐘考試，我大概考到4點20分，4點30不到，整套試卷都做完了。

　　主持人：這么厲害？

　　肖晗：對，大概1個小時20分鐘左右。高考題我們說它每年雖然都會有不一樣的題目出現，但其實它很多題目在里邊它命題規(guī)律是一樣的，是相通的。那年我考完，現在回頭想想覺得自己當時還挺年輕的，就年輕氣盛，當時考完試直接趴在考場里面睡覺了。

　　主持人：那就算是一種提前交卷的方式了。

　　肖晗：對。

　　主持人：只是沒走，就趴著睡了。

　　肖晗：對，當時老師千叮嚀萬囑咐，就是一定、一定再檢查、再檢查、再檢查，不讓我們提前交試卷，當時我自己心里面挺想提前走的。

　　主持人：就是滿足了我小小的心愿，今天我能夠和學霸肖晗老師一起來做今天的節(jié)目特別的開心。大家可以看到屏幕上會有我們肖晗老師寫的“數學考試結束了”，其實要為我們考生們感到自信，就是完成了一科可能還比較燒腦的科目。

　　肖晗：對，數學放在每年高考第一天，作為下午場考完，對于很多同學來說他心態(tài)是會比較放松，當然這時候會有各種各樣的滋味在心里邊。像2019年當時考完之后大家吐槽特別多的那個維納斯，還有說數學考了一朵云的這些題目，因為它剛好就卡在兩天高考的第一天，相當于告訴所有同學我們第一天考試已經結束了。我作為一個老師來給大家一個建議，希望我們今年正在參加高考的同學，平復心態(tài)，因為所有的試卷不管怎么樣，你的感覺對于大家來說大家都是一樣的，這個時候我們平復一下心態(tài)，好好去準備一下明天的理綜、文綜和英語考試，我覺得會比較好。

　　主持人：接下來我們是不是要言歸正傳，好好跟大家來解析一下2020年高考的數學題地這上邊寫了一個“新高考”，我特別想問為什么會有一個新高考的概念？

　　肖晗：新高考，首先我們從同學們實際的課程改革方面來看的話，就是它在2017年，就是咱們國家出臺了新課程改革的標準之后，像今年北京、天津、山東等地方在今年都已經啟用了新高考的試卷，所以第一它的“新”字是新在這個地方，因為之前從來沒有人知道新高考我們到底會怎么考，所以它是第一次正式跟大家見面了。第二點每年的高考題目，就是命題老師的出題方式，都有一些在題目的情景上或者等等方面做一些變化，我們也特別期待今年高考題它又會給同學們帶來一個什么新的不同視角，再加上今年還因為疫情，我相信對于很多同學和家長來說，對今年的高考題除了緊張之外，還有一點期待在里面。話又說回來，我們說它為什么會新呢？大家都知道，我們從2002年之后把高考時間改成每年6月7號、8號，當時很多人還開玩笑，6月的7號、8號就是“錄取”，到了今年因為疫情關系我們又改到7月7號和8號，這是第一個調整。第二個調整，這是今年新課程改革以來第一次試行新高考。還有一個，我相信對于很多江蘇同學來說，他們特別關心的一個點江蘇今年是最后一次獨立命題，那它對于之后江蘇的同學會造成什么樣的影響，這也是大家特別關心的一個事。

　　主持人：對，上一場我們的節(jié)目是作業(yè)幫直播課的語文卷，那個時間段語文卷已經上了熱搜，就可能有滿滿的情懷要跟江蘇卷說再見了，因為明年就不會自主命題了。

　　肖晗：對，江蘇和浙江這兩個省份是我們國家一直在試行課程改革試行次數最多的地方，我們說課程改革對于江蘇和浙江，尤其江蘇這邊的同學，他們對于課程改革這件事一直都會有很復雜的心情在里面。江蘇最后一次獨立命題，就會感覺還有那么一點舍不得的味道在里面。

　　主持人：我們看一看接下來帶來的命題解析，這上面寫的是“十套試卷”，可以給我們大家來介紹一下全國1卷、2卷、3卷等等試卷。

　　肖晗：對。如果不區(qū)分文理的話，今年一共有十套書卷，有全國I、II、III套試卷，這是比較常規(guī)的。還有我們剛剛提到的最后一次對立命題的江蘇卷，這四套試卷跟過往是沒有什么區(qū)別的。大家比較期待的關于今年的新高考，比如說浙江卷、天津卷、北京卷、上海卷、山東卷所使用的新高考I卷，還有海南省這邊使用的新高考II卷，加起來一共10套試題。對于今年的高考，大家的心情就特別、特別復雜，緊張又期待，大概是這樣一個情況，這是我們的全國卷。而且在這里的話，按照之前各個省份公布的課程改革的進度，我們預計到明年的時候，還會有更多的省份會加入新高考。

　　主持人：對，大家可以看一下我們的大屏幕，可以看到北京、上海、天津、山東、江蘇、浙江、湖南、湖北、河北、遼寧、福建、廣東、重慶和海南都是預計2021年新高考的地區(qū)了。

　　肖晗：對。我們剛剛提到今年第一次使用了高考卷之后，尤其山東這邊使用的新高考I卷，它是特別有代表意義的試卷，對于現在正在上高二，下一個月即將踏入高三的同學來說他們特別期待，在整個試卷上發(fā)生了哪些變化，我們在這里就跟大家分享一下。根據我們今天拿到的試卷來看，新高考I卷在題型的分布上，跟過往我們看到的高考題變化挺大的。首先我們看選擇題，大家看一下屏幕上出現的，在今年新高考I卷里面選擇題出現了多選題。

　　主持人：學生好怕多選。

　　肖晗：對，它對于數學這個學科綜合能力要求更高了。以前是單選題的時候，同學們做一道題，他判斷完正確答案就可以了，因為正確答案是唯一的，但是現在碰到這四道題，同學們就特別緊張，到底是有兩個答案還是三個答案？就完全琢不透，他只能把每個選項都仔細判斷一下。選擇題仍然是12道題，但是由原來12道單選題變成前面8道題是單選題，然后從第9題-第12題變成4道多選題。我們看之前很多同學做了很多準備，是山東這邊的同學，他們是做了很多、很多的準備，但是這個點對于明年即將使用新高考試卷的這幾個地區(qū)的同學，我們可能就要稍微關注一下了，就在未來我們需要再強化一下自己在這方面的能力。

　　說到數學的學科知識，希望同學們去加強自己的數學知識的綜合運用能力，就是多個不同知識模塊之間的聯系等等這些。整體上選擇題的分值是沒有發(fā)生變化的，每一道題是5分，總共是60分，但是多選題里面給分，肯定會有同學出現多選或者少選，它具體怎么來給分的呢？如果說全部都選對，就是他把所有正確答案都選出來了，那就是滿分5分，如果他部分選對給的是3分，如果你選到了錯誤的選項，那就是0分。它加了這個試卷之后，對于很多同學來說，很多同學會求穩(wěn)。

　　主持人：對，就是我選一個，保證它對，我就不再去選第二個了。

　　肖晗：對。它會在這四道題里面就會加大學生的區(qū)分度。

　　主持人：明白，又拔高了一點。

　　肖晗：對。因為咱們這個對于大學來說，它會是一個選拔性的考試。對于雙一流的院校，他們可能會把這個作為一個參考，因為它對學生在數學這個學科的綜合運用能力的要求會更高，這是選擇題這一部分，就希望各位同學之后需要認真對待一下這部分。

　　主持人：這是新高考1卷，就是山東考生選擇題發(fā)生這樣的變化，其他題型還有沒有其他的變化？

　　肖晗：比如我們剛才說到的全國I、II、III卷，它的命題跟過往基本是相通的，沒有考查特別難或者特別偏的怪題。它在整個題目分布上也是基本上跟過往是相同的，今年大家特別關注的就是新高考。

　　主持人：大家都很期待想看看它的盧山真面目。

　　肖晗：對，這是我們說到選擇題的這一部分。填空題里面出現了一個小變化，這個小變化它在2019就已經出現了，什么變化呢？它增加了一道多空的問題，我們本來是4道填空題，但是現在增加了1道什么呢？就是一題兩空的問題。這個題跟2019年全國II卷的第16題是相似的，它這個之后也會作為我們在填空題里面作為一個區(qū)分度參考的問題，它給的分值還是一樣，就是第一空2分，第二空3分，它改成是兩小問。所以同學們在做這部分題目的時候，還是得稍微注意一下。它的第一空一般來說相對考查的難度沒有那么高，同學們可以放寬心。因為現在高考命題上是一直在遵循，我們數學里面不會出現那種特別難或者特別偏的怪題，出來之后發(fā)現根本看不懂，完全不知道它在干嗎，考完試之后，等到最后看答案，然后發(fā)現答案也看不懂，這種問題基本上很少了。我記得當初我參加高考的時候，我不知道您當初參加高考會不會有這種情況。

　　主持人：有，肯定會有這樣的情況。

　　肖晗：以前我們參加高考的時候，考完試，很多同學就在吐槽，就這種題根本不知道它在干嗎，回去看答案的時候就直接撕答案，就說“考的是什么呀”，這種題在以前出現的時候，它就屬于什么呢？

　　主持人：屬于拔高題了。

　　肖晗：對，絕大部分人做不出來，能做出來的就是極少數的那一部分人，所以大家也不用太糾結這個事，這是填空題它會產生這樣一個小的變化。

　　解答題這里，新高考關于解答題這一部分，它跟我們過往的，比如說全國I、II、III卷做對比的話，它有這樣幾個變化。全國I、II、III卷整個解答題里面有5道必做題，最后有2道選做題，二選一，兩道題里面選一個來做。 今年新高考改成什么了呢？6道題全部都是必做題，它取消掉了選作題的概念在解答題里面。

　　同學們可以看一下這個屏幕上，它刪掉了什么呢？過往一般的高考試卷里面，比如說全國I、II、III這三套試卷，它最后的選做題通常來說會把高中數學里面的選修4-4，對應的比如說坐標系、參數方程這樣的知識板塊，還有選修4-5里面的不等式選講，它就是兩個模塊讓你選做一個。今年新高考里面直接在解答題里面刪掉了，便成了道必做題之后，它重點是來考查什么呢？就是數列、解三角形和三角函數，概率統(tǒng)計、立體幾何、圓錐曲線就是解析幾何，還有導數，就是六大板塊，這是它今年跟我們過往的變化。尤其是在今年新高考I卷里面，解答題這一部分，它的第一道解答題又做了一點創(chuàng)新，我們建議大家碰到這種題的時候，你不要就覺得這種題我完全沒有見過，這種題在數學里面也是之前在填空里面會出現的，是什么題呢？

　　大家可以看一下，它會給你多個條件，比如說我給你1、2、3個條件，讓你從中選一個，看看能不能滿足。比如說今年山東卷考它是解三角形的一個問題，題干里面給了其他的條件，但這時候我讓你從以下三個條件中選一個條件，就相當于你三選一，然后你自己給自己組一道題。如果說你選擇第一個條件，那是一道題，你選擇第二個條件，那又變成另外一個不同的題，你選擇第三個條件它又變成另外一個不一樣的題。但是它給分的方式是比較開放的，比如你選擇這個條件之后來解答，如果題干里面問的是“是否存在”？就是滿足條件三角形等等之類的，你選第一個條件，你發(fā)現它是存在的，根據第一個條件計算下來，那么它存在，那你正常來寫也是可以給分，它也是可以給到滿分。如果你選了第二個條件，第二個條件我們驗證之后發(fā)現它是不存在的，那你的答題卡上寫的是“不存在”，那它仍然會按照滿分來給你打分的。所以它這里面做了一個小創(chuàng)新，相當于同學們，第一題目的出題方式傷，就是你自己來做一個組合，第二它的答案也是開放性的，根據同學自己選的不一樣的條件，答案會產生不一樣的方式。

　　比如今年山東卷考到的，它是一個節(jié)三角形的問題，那對于同學們在解三角形這個板塊里面，比如說余弦定理、正弦定理，它的基本公式的運用，以及它會出現哪些題型，什么情況下優(yōu)先選擇正弦定理，什么情況下優(yōu)先選擇余弦定理，它對于同學們來說在能力上綜合考查的更多。就跟我們前面說的選擇題里面出現多選題，填空題中出現了一題兩空的問題一樣，新高考我們一開始說，今年我們單獨拿一個“新”字出來，新高考這個試卷上是給我們帶來新的不同的思考方向。這就是今年關于新高考試卷里面它在選擇題、填空題、解答題上就特別突出的題型分布的一個變化。

　　主持人：這是新高考I卷的解答題。接下來要看看2020高考的熱點題型。

　　肖晗：對。我不知道您還記不記得2019年高考題一出來之后，同學們老在那里說的，就是“維納斯”特別火，考黃金比例的。

　　主持人：對。

　　肖晗：我記得當時好多同學在課后就說是在測我智商的黃金比例，不是讓我看維納斯。我記得III卷里面給了一朵云，就在我們剛剛說的選作題那個板塊，就是它出現了一朵云的東西，好多同學考完之后，我就覺得同學們特別有才華，當時想到《大話西游》里面那個梗——“總有一天我的意中人會踏著七彩云彩來接我”，好多同學說“我今年被命題老師接走了，別找我”。從去年甚至從前年開始，數學這個學科出現了很多這樣的題目。

　　今年根據廣大同學考完試之后的反饋，今年會出現哪些不一樣的題。

　　首先，全國I卷。因為全國I卷也是一套比較有代表性的試卷，這個圖可能同學們有點不太能看得清楚。

　　主持人：是一個金字塔。

　　肖晗：它是一個金字塔。它在今年全國I卷理科第三題的位置出現了考察胡夫金字塔的問題。它其實對應的是2019年，它在同樣大概相似的位置考察的是一個“維納斯”。而且它考察的都是屬于幾何問題。2019年“維納斯”里考平面幾何，大概是一個估算的問題。今年考察的是立體幾何的問題。但同時這里還多了一個跟2019年不太一樣的地方，或者我們可以說是相通的一個地方。題干里給了一個條件，給了一個高中數學課本里沒有出現過的知識點，考察同學們提取這個信息的能力。“以該四棱錐的高為邊長的正方面的面積等于該四棱錐的一個側邊三角形的面積”。這句話在高中立體幾何里是沒有的，你要能把這道題做出來，重點是把這個條件翻譯過來，其實你把它剝離掉這個題目當中給到的情境——金字塔，對于同學們來說，考察的就是高中數學里一個特別特別常規(guī)的四棱錐的問題，考了四棱錐的高，告訴它的高和側面積的關系。根據關系列方程，這個題就考得比較常規(guī)了。

　　這類題是最近這幾年里的一個熱點題型，幾乎每年都會出現相似的一個題目。這道題雖然表面上給了一個特別奇怪的或者是自己意料之外的題目的情景，但實際上你把它剝離掉這個題目里無關的信息之后，它考察的就是高中數學里的一個正四棱錐的知識。

　　我們根據同學的反饋，除了I卷里邊有這樣的題，II卷，我不知道你能不能看出下面的圖里是一個什么東西。

　　主持人：鋼琴嗎？

　　肖晗：對，它考察了鋼琴里邊的鍵位。我不知道今年同學在考試的時候看到這個圖又想到肖邦、貝多芬的著名鋼琴曲。這里把鋼琴的12個鍵依次標記為后邊這幾個。

　　主持人：a1到a12。

　　肖晗：給了這三個下角標，1≦i，＜j，＜k，＜等于12，如果滿足了k-j=3且j-i=4，我們就把它叫做是原位大三和弦。但其實我是一個數學老師，我是根本不知道什么叫大三和弦。它后面又給了一個同樣的（條件），不知道同學們有沒有看到，它跟前面是類似的。第一個兩組作差之后等于3，后面那兩個作差等于4，然后后邊又調了一下位置，變成了那個差值，前面是4，后面是3，我們就把它叫做原位小三和弦。它現在讓我們統(tǒng)計這12個鍵構成原位大三和弦和小三和弦的個數有多少個。

　　這個題跟全國I卷里面的胡夫金字塔的題類似，那個題是考察立體幾何，這里它下面給了a1、aj、ak，代表的下角標。同學們碰到這個題的時候從數學的角度來看，我們馬上能夠想到什么東西呢？就是數列。因為高中數學里特別特別典型的一個知識模塊，我們數列里面都是用下角標來表示它的順序。這個題你把它剝離之后就是考察一個數列的問題，或者我們可以說它那個下角標里是1、2……12，一共12個數字�？疾斓氖沁@12個數字里，比如從1開始，哪一個減1等于3，比如4-1=3，J-I=4，哪個減4等于4呢？那就是8。所以，它其實就是找1到12個數字列出來，前兩個數的差值是3，后兩個數的差值是4，把所有的可能性都列出來，其實就完了。

　　這道題考察的是什么呢？就是數列的一個定義，考察了一個數列的概念。如果真是同學們做題，這種題相對來說是比較常規(guī)、比較基礎。這些位置上產生的變化，掰著手指都能數過來。因為總共是12個，我們數一下第一組，就已經到8了。

　　這個題表面上給了一個鋼琴鍵，對于數學老師的要求，不光要只會學數學，下一次可能彈鋼琴，下次可能又變成了高音什么的。去年北京卷就考的是音符，因為我是一個數學老師，可能不太能表達清楚，考察的是音樂里面的音符作為考察背景，跟這個是類似的。今年I卷里面考金字塔的題型很類似。還有全國II卷的第四題。

　　我們能夠看到這些題出現的位置都在比較靠前的位置，它給了你一個題目的情景，從這個情景里我們提取數學信息，轉換為高中學到的知識模塊的能力，這也是現在新課程改革里特別強調的一個點。詳細說一下這個題，考的是天壇的圓丘壇，祭祀的場所分上下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石）。實際上這些東西給的都是無關的信息。

　　主持人：其實是你要忽略掉的。

　　肖晗：對，增加你的閱讀量。有些同學可能考這些的時候一看還挺投入的，讀到天心石，覺得天心石挺有意思，想到電視劇，想說啥？又要讀一遍，很多同學都產生這樣的狀況。我們給的建議是剝離前面的無效信息，其實告訴你的就是上中下。關鍵信息在后邊，“環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)增加9塊”。我不知道同學們有沒有見過擺多米諾骨牌，里面最中心的是9塊，擺第二圈的時候又加了。

　　主持人：可能成了一倍，就是18塊，然后繼續(xù)加。

　　肖晗：對，之后每一次我們都加9塊。這個問題又變成了，你從里邊開始往外數的話，最里邊的第一層是9塊，再往下就加了9塊，變成18塊，再往下變成27塊，再往下變成了27+9=36塊，每一個差值是相同的，變成了高中數學的等差數列概念。

　　到現在全國I卷、全國II卷，甚至聽同學們反饋，在III卷里也有類似這樣的題目。

　　這是這幾年高考命題里邊的一個方向或者是一個比較熱點的趨勢。剛才我們說的幾道題，給了數學里面新的題目的情景，讓同學把無效的信息剝離掉，看一看它到底對應的是高中數學的哪個知識模塊。

　　高中數學里還有另外一類題，考察什么呢？就是數學建模。我不知道你上大學的時候有沒有……

　　主持人：我上大學的時候沒有數學，因為我是學藝術的，高考完了之后就跟數學說再見了。

　　肖晗：好多同學可能今天考完就跟數學再見，特別開心。

　　好多同學上了大學之后多少聽說過大學里有各種各樣的數學建模競賽，甚至會有很多國際比賽在里邊。這個數學建模說白了就是我們把生活里的很多場景用數學的方式來分析它。再比如今年由于疫情的關系，我們之前在課上也跟很多同學強調，今年肯定會出類似的題目。像這個題考察一個常用的模型，可以用于流行病學領域，給了一堆公式。給的那個數學模型的公式，K為最大確診病例數，問前面那個公式整體等于0.95K的時候，就標志著已經初步遏制了疫情，問這時t的值等于幾。