函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用（含具體案例)

　　函數(shù)思想和方程思想是學(xué)習(xí)數(shù)列的兩大精髓.“從基本量出發(fā)，知三求二.”這是方程思想的體現(xiàn).而“將數(shù)列看成一種特殊的函數(shù)，等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式都是關(guān)于n的函數(shù).”則蘊(yùn)含了數(shù)列中的函數(shù)思想.借助有關(guān)函數(shù)、方程的性質(zhì)來解決數(shù)列問題，常能起到化難為易的功效.

　　本文列舉幾例分類剖析：

　　一、方程思想

　　1.知三求二

　　等差（或等比）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式集中了等差（或等比）數(shù)列的五個(gè)基本元素a1、d（或q）、n、an、Sn.“知三求二”是等差（或等比）數(shù)列最基本的題型，通過解方程的方法達(dá)到解決問題的目的.

　　例1等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a10=30，a20=50，（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若Sn=242，求n的值.

　　解（1）由a10=a1+9d=30，

　　a20=a1+19d=50，

　　解得a1=12，

　　因?yàn)閚∈N*，所以n=11.

　　2.轉(zhuǎn)化為基本量

　　在等差（等比）數(shù)列中，如果求得a1和d（q），那么其它的量立即可得.

　　例2在等比數(shù)列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8項(xiàng)的和S8.

　　解a6―a4=a1q3（q2―1）=24.（1）

　　由a3a5=（a1q3）2=64，得a1q3=±8.

　　將a1q3=―8代入（1），

　　得q2=―2（舍去）；

　　將a1q3=8代入（1），得q=±2.

　　當(dāng)q=2時(shí)，a1=1，S8=255；

　　當(dāng)q=―2時(shí)，a1=―1，S8=85.

　　3.加減消元法利用Sn求an

　　利用Sn求an是求通項(xiàng)公式的一種重要方法，其實(shí)這種方法就是方程思想中加減消元法的運(yùn)用.

　　例3（2011年佛山二模）已知數(shù)列{an}、{bn}中，對任何正整數(shù)n都有：

　　a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=（n―1）？2n+1.

　　若數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

　　解將等式左邊看成Sn，令

　　Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.

　　依題意Sn=（n―1）？2n+1，（1）

　　又構(gòu)造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=（n―2）？2n―1+1，（2）

　　兩式相減可得

　　Sn―Sn―1=an？bn=n？2n―1（n≥2）.

　　又因?yàn)閿?shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為

　　bn=2n―1，

　　所以an=n （n≥2）.

　　當(dāng)n=1，由題設(shè)式子可得a1=1，符合an=n.

　　從而對一切n∈N*，都有an=n.

　　所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n.

　　4.等差、等比的綜合問題

　　這一類的綜合問題往往還是回歸到數(shù)列的基本量去建立方程組.

　　例4設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4構(gòu)成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

　　解根據(jù)求和定義和等差中項(xiàng)建立關(guān)于a1，a2，a3的方程組.

　　由已知得a1+a2+a3=7，

　　（a1+3）+（a3+4）2=3a2.

　　解得a2=2.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，

　　由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.

　　又S3=7，可知2q+2+2q=7，

　　即2q2―5q+2=0，

　　解得q1=2，q2=12.

　　由題意得q>1，所以q=2.

　　可得a1=1，

　　從而數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=2n―1.

　　二、函數(shù)思想

　　數(shù)列是一類定義在正整數(shù)或它的有限子集上的特殊函數(shù).可見，任何數(shù)列問題都蘊(yùn)含著函數(shù)的本質(zhì)及意義，具有函數(shù)的一些固有特征.如一次、二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、周期性等在數(shù)列中有廣泛的應(yīng)用.如等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

　　an=a1+（n―1）d=dn+（a1―d），

　　前n項(xiàng)和的公式

　　Sn=na1+n（n―1）2d

　　=d2n2+（a1―d2）n，

　　當(dāng)d≠0時(shí)，可以看作自變量n的一次和二次函數(shù).因此我們在解決數(shù)列問題時(shí)，應(yīng)充分利用函數(shù)有關(guān)知識，以它的概念、圖象、性質(zhì)為紐帶，架起函數(shù)與數(shù)列間的橋梁，揭示了它們間的內(nèi)在聯(lián)系，從而有效地分解數(shù)列問題.

　　1.運(yùn)用函數(shù)解析式解數(shù)列問題

　　在等差數(shù)列中，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可用研究二次函數(shù)的方法進(jìn)行解題.

　　例5等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出當(dāng)n為何值時(shí)Sn有最大值.

　　分析顯然公差d≠0，所以Sn是n的二次函數(shù)且無常數(shù)項(xiàng).

　　解設(shè)Sn=an2+bn（a≠0），則

　　a×102+b×10=100，

　　a×1002+b×100=10.

　　解得a=―11100，

　　b=11110.

　　所以Sn=―11100n2+11110n.

　　從而S110=―11100×1102+11110×110

　　=―110.

　　函數(shù)Sn=―11100n2+11110n的對稱軸為

　　n=111102×11100=55211=50211.

　　因?yàn)閚∈N*，

　　所以n=50時(shí)Sn有最大值.

　　2.利用函數(shù)單調(diào)性解數(shù)列問題

　　通過構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證明數(shù)列的單調(diào)性.

　　例6已知數(shù)列{an}中an=ln（1+n）n （n≥2），求證an>an+1.

　　解設(shè)f（x）=ln（1+x）x（x≥2），

　　則f ′（x）=x1+x―ln（1+x）x2. 　　因?yàn)閤≥2，

　　所以x1+x<1，ln（1+x）>1，

　　所以f ′（x）<0.

　　即f（x）在[2，+∞）上是單調(diào)減函數(shù).

　　故當(dāng)n≥2時(shí)，an>an+1.

　　例7已知數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，bn=1+anan.

　　（1）若a1=―52，求數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值；

　　（2）若對任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范圍.

　�。�1）分析最大、最小是函數(shù)的一個(gè)特征，一般可以從研究函數(shù)的單調(diào)性入手，用來研究函數(shù)最大值或最小值的方法同樣適用于研究數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng).

　　解由題設(shè)易得an=n―72，

　　所以bn=2n―52n―7.

　　由bn=2n―52n―7=1+22n―7，

　　可考察函數(shù)f（x）=1+22x―7的單調(diào)性.

　　當(dāng)x<72時(shí)，f（x）為減函數(shù)，

　　且f（x）<1；

　　當(dāng)x>72時(shí)，f（x）為減函數(shù)，

　　且f（x）>1.

　　所以數(shù)列{bn}的最大項(xiàng)為b4=3，最小項(xiàng)為b3=―1.

　�。�2）分析由于對任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本題實(shí)際上就是求數(shù)列{bn}中的最大項(xiàng).

　　由于bn=1+1n―1+a1，

　　故可以考察函數(shù)f（x）=1+1x―1+a1的形態(tài).

　　解由題，得an=n―1+a1，

　　所以bn=1+1n―1+a1.

　　考察函數(shù)f（x）=1+1x―1+a1，

　　當(dāng)x<1―a1時(shí)，f（x）為減函數(shù)，

　　且f（x）<1；

　　當(dāng)x>1―a1時(shí)，f（x）為減函數(shù)，

　　且f（x）>1.

　　所以要使b8是最大項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)7<1―a1<8，

　　所以a1的取值范圍是―7　　3.利用函數(shù)周期性解數(shù)列問題

　　例8數(shù)列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.試求S100=a1+a2+…+a100的值.

　　分析從遞推式不易直接求通項(xiàng)，觀察前幾項(xiàng)a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜測該數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列.

　　解由已知

　　兩式相減得

　　通過上述實(shí)例的分析與說明，我們可以發(fā)現(xiàn)，在數(shù)列的教學(xué)中，應(yīng)重視方程函數(shù)思想的滲透，應(yīng)該把函數(shù)概念、圖象、性質(zhì)有機(jī)地融入到數(shù)列中，通過數(shù)列與函數(shù)知識的相互交匯，使學(xué)生的知識網(wǎng)絡(luò)得以不斷優(yōu)化與完善，同時(shí)也使學(xué)生的思維能力得以不斷發(fā)展與提高.