指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)

　　指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)

　　一、計(jì)算：

　　例1.化簡(jiǎn)

　　(1)　 (2)

　　(3)

　　解：(1)x的指數(shù)是

　　所以原式=1

　　(2)x的指數(shù)是

　　=0

　　所以原式=1

　　(3)原式=

　　例2.若，求

　　解：因?yàn)?/p>

　　所以f(x)+f(1-x)=1

　　=

　　例3.已知m,n為正整數(shù)，a>0,a11,且

　　求m,n

　　解：左邊=

　　原式為loga(m+n)=logamn

　　得m+n=mn即(m-1)(n-1)=1

　　因?yàn)閙,n?N，所以從而m=n=2

　　二、比較大小

　　例1.試比較與的大小

　　解：令121995=a>0則

　　?=

　　所以>

　　例2.已知函數(shù)f(x)=logax (a>0,a11,x?R+)若x1,x2?R+,試比較與的大小

　　解：f(x1)+f(x2)=loga(x1x2)

　　∵x1,x2?R+,∴ (當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)，取“=”號(hào))，

　　當(dāng)a>1時(shí)，有，∴

　　即 (當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)，取“=”號(hào))

　　當(dāng)a>1時(shí)，有，∴

　　即 (當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)，取“=”號(hào))

　　例3.已知y1=，y2=，當(dāng)x為何值時(shí)

　　(1)y1=y2　　　　 (2)y1>y2　　　　 (3)y1<y2

　　解：由指數(shù)函數(shù)y=3x為增函數(shù)知

　　(1)y1=y2的充要條件是：2x2-3x+1=x2+2x-5 解得x1=2,x2=3

　　(2)y1>y2的充要條件是：2x2-3x+1>x2+2x-5 解得x<2或x>3

　　(3)y1<y2的充要條件是：2x2-3x+1<x2+2x-5 解得2<x<3

　　三、證明

　　例1.對(duì)于自然數(shù)a,b,c (a￡b￡c)和實(shí)數(shù)x,y,z,w若ax=by=cz=70w (1) (2)

　　求證：a+b=c

　　證明：由(1)得：

　　∴

　　把(2)代入得：abc=70=2′5′7,a￡b￡c

　　由于a,b,c均不會(huì)等于1，故a=2,b=5,c=7從而a+b=c

　　例2.已知A=6lgp+lgq，其中p,q為素?cái)?shù)，且滿足q-p=29，求證：3<A<4

　　證明：由于p,q為素?cái)?shù)，其差q-p=29為奇數(shù)，∴p=2,q=31

　　A=6lg2+lg31=lg(26×31)=lg1984

　　1000<1984<10000　故3<A<4

　　例3.設(shè)f(x)=logax (a>0,a11)且 (q為銳角)，求證：1<a<15

　　證明：∵q是銳角，∴，從而a>1

　　又f(15)==sinq+cosq

　　=1

　　故a<15　 綜合得：1<a<15

　　例4.已知0<a<1,x2+y=0，求證：

　　證：因?yàn)?<a<1，所以ax>0,ay>0由平均值不等式

　　故

　　四、圖象和性質(zhì)

　　例1.設(shè)a、b分別是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求a+b及l(fā)og2a+2b

　　解：在直角坐標(biāo)系內(nèi)分別作出函數(shù)y=2x和y=log2x的圖象，再作直線y=x和y= -x+3，由于y=2x和y=log2x互為反函數(shù)，故它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，方程log2x+x-3=0的根a就是直線y= -x+3與對(duì)數(shù)曲線y=log2x的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，方程2x+x-3=0的根b就是直線y= -x+3與指數(shù)曲線y=2x的交點(diǎn)B的橫坐標(biāo)

　　設(shè)y= -x+3與y=x的交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為(1.5,1.5)，

　　所以a+b=2xM=3　 log2a+2b=2yM=3

　　例6.設(shè)f(x)=min(3+，log2x),其中min(p,q)表示p、q中的較小者，求f(x)的最大值

　　解：易知f(x)的定義域?yàn)?0,+￥)

　　因?yàn)閥1=3+在(0,+￥)上是減函數(shù)，y2=log2x在(0,+￥)上是增函數(shù)，而當(dāng)y1=y2，即

　　3+=log2x時(shí)，x=4，所以由y1=3+和y2=log2x的圖象可知

　　故當(dāng)x=4時(shí)，得f(x)的最大值是2

　　另解：f(x)￡3+=3- (1)　　　 f(x)=log2x　 (2)

　　(1)′2+(2)消去log2x，得3f(x)￡6，f(x)￡2

　　又f(4)=2,故f(x)的最大值為2

　　例7.求函數(shù)的最小值

　　解：由1-3x>0得，x<0,所以函數(shù)的定義域?yàn)?-￥,0)

　　令3x=t,則t?(0,1)，于是

　　故當(dāng)x= -1時(shí)，得y的最小值-2+2log23

　　五、方程和不等式

　　例1.解方程(1)x+log2(2x-31)=5 　(2) 2lgx×xlg2-3×xlg2-21+lgx+4=0

　　解：(1)原方程即：log22x+log2(2x-31) =5

　　log2[2x(2x -31)]=5　 (2x)2-31×2x=32

　　解得：2x=32, ∴x=5

　　(2)原方程即：(2lgx)2-5×2lgx+4=0

　　解得：x1=100,x2=1

　　例2.設(shè)a>0且a11,求證：方程ax+a-x=2a的根不在區(qū)間[-1,1]內(nèi)

　　解：設(shè)t=ax,則原方程化為：t2-2at+1=0　 (1)

　　由D=4a2-430得a31,即a>1

　　令f(t)= t2-2at+1

　　f(a)=a2-2a2+1=1-a2<0

　　所以f(t)的圖象與橫軸有的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在之外，故方程t2-2at+1=0在之外有兩個(gè)實(shí)根，原方程有兩實(shí)根且不在區(qū)間[-1,1]內(nèi)

　　例3.解方程：lg2x-[lgx]-2=0 (其中[x]表示不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù))

　　解：由[x]的定義知，[x]￡x，故原方程可變?yōu)椴坏仁剑?/p>

　　lg2x-lgx-2￡0即-1￡lgx￡2

　　當(dāng)-1￡lgx<0時(shí)，[lgx]= -1，于是原方程為lg2x=1

　　當(dāng)0￡lgx<1時(shí)，[lgx]=0，原方程為lg2x=2，均不符合[lgx]=0

　　當(dāng)1￡lgx<2時(shí)，[lgx]=1，原方程為lg2x=3，所以lgx=，

　　當(dāng)lgx=2時(shí)，x=100

　　所以原方程的解為x1=

　　例4.當(dāng)a為何值時(shí)，不等式

　　有且只有一解

　　解：易知：a>0且a11，設(shè)u=x2+ax+5，原不等式可化為

　　(1)當(dāng)0<a<1時(shí)，原不等式為 (1)

　　由于當(dāng)u30時(shí)，與均為單調(diào)增函數(shù)，所以它們的乘積

　　也是單增函數(shù)

　　因?yàn)閒(4)=log3(2+1)×log5(4+1)=1

　　所以(1)等價(jià)于u34,即x2+ax+534此不等式有無窮多解

　　(2)當(dāng)a>1時(shí)，不等式化為 (2)

　　由f(4)=1知，(2)等價(jià)于0￡u￡4，即0￡x2+ax+5￡4

　　從上式可知，只有當(dāng)x2+ax+5=4有唯一解即D=a2-4=0，a=2時(shí)，不等式0￡x2+ax+5￡4有唯一解x= -1

　　綜上所述，當(dāng)a=2時(shí)原不等式有且只有一個(gè)解

　　例5.已知a>0且a11，試求使方程有解的k的取值范圍

　　解：原方程即

　　即

　　分別解關(guān)于的不等式、方程得： (k10時(shí))

　　所以解得k< -1或0<k<1

　　又當(dāng)k=0時(shí)，代入原式可推出a=0與已知矛盾，故k的取值范圍為(-￥,-1)U(0,1)