高二數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：判斷充分與必要條件的方法

　　一、定義法

　　對(duì)于“?圯”,可以簡(jiǎn)單的記為箭頭所指為必要,箭尾所指為充分。在解答此類題目時(shí),利用定義直接推導(dǎo),一定要抓住命題的條件和結(jié)論的四種關(guān)系的定義。

　　例1已知p:-2

　　分析條件p確定了m,n的范圍,結(jié)論q則明確了方程的根的特點(diǎn),且m,n作為系數(shù),因此理應(yīng)聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系,然后再進(jìn)一步化簡(jiǎn)。

　　解設(shè)x1,x2是方程x2+mx+n=0的兩個(gè)小于1的正根,即0

　　而對(duì)于滿足條件p的m=-1,n=,方程x2-x+=0并無(wú)實(shí)根,所以pq。

　　綜上,可知p是q的必要但不充分條件。

　　點(diǎn)評(píng)解決條件判斷問題時(shí),務(wù)必分清誰(shuí)是條件,誰(shuí)是結(jié)論,然后既要嘗試由條件能否推出結(jié)論,也要嘗試由結(jié)論能否推出條件,這樣才能明確做出充分性與必要性的判斷。

　　二、集合法

　　如果將命題p,q分別看作兩個(gè)集合A與B,用集合意識(shí)解釋條件,則有:①若A?哿B,則x∈A是x∈B的充分條件,x∈B是x∈A的必要條件;②若A?芴B,則x∈A是x∈B的充分不必要條件,x∈B是x∈A的必要不充分條件;③若A=B,則x∈A和x∈B互為充要條件;④若A?芫B且A?蕓B,則x∈A和x∈B互為既不充分也不必要條件。

　　例2設(shè)x,y∈R,則x2+y2<2是|x|+|y|≤的()條件,是|x|+|y|<2的()條件。

　　A。充要條件B。既非充分也非必要條件

　　C。必要不充分條件?搖D。充分不必要條件

　　解如右圖所示,平面區(qū)域P={(x,y)|x2+y2<2}表示圓內(nèi)部分(不含邊界);平面區(qū)域Q={(x,y)||x|+|y|≤}表示小正方形內(nèi)部分(含邊界);平面區(qū)域M={(x,y)||x|+|y|<2}表示大正方形內(nèi)部分(不含邊界)。

　　由于(,0)?埸P,但(,0)∈Q,則P?蕓Q。又P?芫Q,于是x2+y2<2是|x|+|y|≤的既非充分也非必要條件,故選B。

　　同理P?芴M,于是x2+y2<2是|x|+|y|<2的充分不必要條件,故選D。

　　點(diǎn)評(píng)由數(shù)想形,以形輔數(shù),這種解法正是數(shù)形結(jié)合思想在解題中的有力體現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合不僅能夠拓寬我們的解題思路,而且也能夠提高我們的解題能力

　　三、逆否法

　　利用互為逆否命題的等價(jià)關(guān)系,應(yīng)用“正難則反”的數(shù)學(xué)思想,將判斷“p?圯q”轉(zhuǎn)化為判斷“非q?圯非p”的真假。

　　例3(1)判斷p:x≠3且y≠2是q:x+y≠5的什么條件;

　　(2)判斷p:x≠3或y≠2是q:x+y≠5的什么條件。

　　解(1)原命題等價(jià)于判斷非q:x+y=5是非p:x=3或y=2的什么條件。

　　顯然非p非q,非q非p,故p是q的既不充分也不必要條件。

　　(2)原命題等價(jià)于判斷非q:x+y=5是非p:x=3且y=2的什么條件。

　　因?yàn)榉莗?圯非q,但非q非p,故p是q的必要不充分條件。

　　點(diǎn)評(píng)當(dāng)命題含有否定詞時(shí),可考慮通過逆否命題等價(jià)轉(zhuǎn)化判斷。

　　四、篩選法

　　用特殊值、舉反例進(jìn)行驗(yàn)證,做出判斷,從而簡(jiǎn)化解題過程。這種方法尤其適合于解選擇題。

　　例4方程ax2+2x+1=0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是()

　　A。0

　　解利用特殊值驗(yàn)證:當(dāng)a=0時(shí),x=-,排除A,D;當(dāng)a=1時(shí),x=-1,排除B。因此選C。

　　點(diǎn)評(píng)作為選擇題,利用篩選法避免了復(fù)雜的邏輯推理過程,使解題方法更加優(yōu)化,節(jié)省了時(shí)間,提高了解題的速度,因此同學(xué)們應(yīng)該注意解題方法的選擇使用。

　　五、傳遞法

　　充分條件與必要條件具有傳遞性,即由P1?圯P2,P2?圯P3,…,Pn-1?圯Pn,可得P1?圯Pn。同樣,充要條件也有傳遞性。對(duì)于比較復(fù)雜的具有一定連鎖關(guān)系的條件,兩個(gè)條件間關(guān)系的判斷也可用傳遞法來(lái)加以處理。

　　例5已知p是r的充分不必要條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,那么p是q的()

　　A。充分不必要條件B。必要不充分條件

　　C。充要條件D。既不充分也不必要條件

　　解由題意可得p?圯r,r?圯s,s?圯q,那么可得p?圯r?圯s?圯q,即p是q的充分不必要條件,故選A。

　　點(diǎn)評(píng)對(duì)于兩個(gè)以上的較復(fù)雜的連鎖式條件,利用傳遞性結(jié)合符號(hào)“?圯”與“”,畫出它們之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行判斷,可以直觀快捷地處理問題,使問題得以簡(jiǎn)單化。

　　1。求三個(gè)方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0至少有一個(gè)方程有實(shí)根的充要條件。